Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x-1+xe^{-x}$, de courbe $\mathcal{C}_f$, et $D$ la droite d'équation $y=2x-1$.
On admet la définition suivante (hors programme) : une droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ si $\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$, et de même en $-\infty$.
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Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
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Montrer que $D$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
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Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $D$ sur $\mathbb{R}$.
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Déterminer $\lim_{x\to-\infty}f(x)$. La droite $D$ est-elle asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ ?
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Déterminer $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$.
En $+\infty$, $xe^{-x}$ est une forme indéterminée ; en $-\infty$, ce n'est pas le cas.
Pour la position, la différence $f(x)-(2x-1)$ est très simple : étudier son signe.
Pour la question 5, diviser chaque terme de $f(x)$ par $x$.
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