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Limite finie, suite convergente : définition (Terminale spé)
Définition
Limite finie, suite convergente
Soit $\ell$ un réel. On dit que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou a pour limite $\ell$) si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\to+\infty} u_n=\ell$.
Une suite qui converge vers un réel est dite convergente. Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente : soit elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, soit elle n'a pas de limite.
Exemple
La suite $(1/n)$ converge vers $0$
Pour $n\ge1$, on pose $u_n=\dfrac1n$. Soit $]a\,;b[$ un intervalle ouvert contenant $0$, donc $a<0<b$.
- Pour tout $n\ge1$, $u_n>0>a$.
- $u_n<b \iff n>\dfrac1b$. En notant $N$ le premier entier strictement supérieur à $\dfrac1b$, pour tout $n\ge N$, $u_n\le\dfrac1N<b$.
Ainsi, à partir du rang $N$, tous les termes sont dans $]a\,;b[$. Donc $\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$.
S’entraîner
- Utiliser la définition de la limite
- Opérations sur les limites
- Lever une indétermination par le terme dominant
- Limites de suites géométriques
- Comparaison et gendarmes avec $(-1)^n$ et $\sin n$