Limite infinie : définition (Terminale spé)
Limite infinie
On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si, pour tout réel $A$, l'intervalle $]A\,;+\infty[$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
Autrement dit : pour tout réel $A$, il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\ge N$, $u_n>A$.
De même, $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si, pour tout réel $A$, l'intervalle $]-\infty\,;A[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
La suite $(n^2)$ tend vers $+\infty$
Soit $A$ un réel. Si $A<0$, tous les termes $n^2\ge 0>A$ conviennent dès $n=0$.
Si $A\ge 0$ : on a $n^2>A$ dès que $n>\sqrt{A}$. En notant $N$ le premier entier strictement supérieur à $\sqrt{A}$, pour tout $n\ge N$, $n^2\ge N^2>A$.
Par exemple, pour $A=10^6$, tous les termes sont supérieurs à $A$ à partir du rang $N=1001$.
Donc $\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty$.
S’entraîner
- Utiliser la définition de la limite
- Opérations sur les limites
- Lever une indétermination par le terme dominant
- Limites de suites géométriques
- Comparaison et gendarmes avec $(-1)^n$ et $\sin n$