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Terminale › Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale › Seuil sur $n$ par le logarithme

Seuil sur $n$ par le logarithme : méthode (Terminale spé)

Méthode

Seuil sur $n$ par le logarithme

Pour trouver le plus petit $n$ tel que $P(X\geqslant1)\geqslant s$ (avec $0<s<1$) :

  1. On écrit $P(X\geqslant1)=1-(1-p)^n$.
  2. On résout $1-(1-p)^n\geqslant s$, soit $(1-p)^n\leqslant1-s$.
  3. La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ : $n\ln(1-p)\leqslant\ln(1-s)$.
  4. Comme $0<1-p<1$, on a $\ln(1-p)<0$ : en divisant, le sens de l'inégalité change : $n\geqslant\dfrac{\ln(1-s)}{\ln(1-p)}$.
  5. On conclut avec le plus petit entier supérieur ou égal à ce quotient.
Exemple

Détecter au moins un défaut

Un composant est défectueux avec probabilité $0{,}05$. Combien de composants faut-il tester, de façon indépendante, pour que la probabilité d'en trouver au moins un défectueux soit au moins $0{,}99$ ?

Le nombre $X$ de composants défectueux parmi $n$ suit $\mathcal{B}(n\,;0{,}05)$. $$\begin{aligned}P(X\geqslant1)\geqslant0{,}99&\iff1-0{,}95^n\geqslant0{,}99\\&\iff0{,}95^n\leqslant0{,}01\\&\iff n\ln(0{,}95)\leqslant\ln(0{,}01)\\&\iff n\geqslant\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}95)}\quad\text{car }\ln(0{,}95)<0.\end{aligned}$$ Or $\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}95)}\approx89{,}78$. Il faut donc tester au moins 90 composants. Contrôle : $0{,}95^{89}\approx0{,}0104>0{,}01$ et $0{,}95^{90}\approx0{,}0099\leqslant0{,}01$.

S’entraîner

Dans le cours

Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale : Seuil sur $n$ par le logarithme