Une graine d'orchidée germe avec la probabilité $0{,}1$. On sème $n$ graines ($n\geqslant1$) et on admet que leurs germinations sont indépendantes. On note $X$ le nombre de graines qui germent. On veut obtenir au moins deux plants avec une probabilité d'au moins $0{,}95$.
- Montrer que $u_n=P(X\leqslant1)=0{,}9^{n-1}\,(0{,}9+0{,}1n)$.
- Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. Que peut-on en déduire pour la probabilité d'obtenir au moins deux plants ?
- Traduire la condition « $P(X\geqslant2)\geqslant0{,}95$ » à l'aide de $u_n$. Expliquer pourquoi on ne peut pas la résoudre avec le logarithme comme dans le cours.
- Écrire une fonction Python
seuil()qui renvoie le plus petit entier $n$ qui convient. - La calculatrice donne $u_{45}\approx0{,}0524$ et $u_{46}\approx0{,}0480$. Conclure.
$X\sim\mathcal B(n\,;0{,}1)$ : additionner $P(X=0)$ et $P(X=1)$, puis factoriser par $0{,}9^{n-1}$.
Calculer $u_{n+1}-u_n$ en factorisant par $0{,}9^{n-1}$.
La boucle doit continuer tant que la condition souhaitée n'est pas réalisée.
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L'épreuve « semer une graine » est une épreuve de Bernoulli de succès « la graine germe », de probabilité $0{,}1$, répétée $n$ fois de façon identique et indépendante ; $X$ compte les succès donc $X\sim\mathcal B(n\,;0{,}1)$. Alors $$u_n=P(X=0)+P(X=1)=0{,}9^n+n\times0{,}1\times0{,}9^{n-1}=0{,}9^{n-1}(0{,}9+0{,}1n).$$
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Pour $n\geqslant1$, en remarquant que $0{,}9+0{,}1(n+1)=1+0{,}1n$ : $$\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=0{,}9^n(1+0{,}1n)-0{,}9^{n-1}(0{,}9+0{,}1n)\\&=0{,}9^{n-1}\big[0{,}9+0{,}09n-0{,}9-0{,}1n\big]\\&=-0{,}01n\times0{,}9^{n-1}<0.\end{aligned}$$ La suite $(u_n)$ est strictement décroissante. Comme $P(X\geqslant2)=1-u_n$, la probabilité d'obtenir au moins deux plants est strictement croissante en $n$ : une fois le seuil atteint, il reste atteint pour toutes les valeurs suivantes de $n$.
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$P(X\geqslant2)\geqslant0{,}95\iff1-u_n\geqslant0{,}95\iff u_n\leqslant0{,}05$. L'inconnue $n$ apparaît à la fois en exposant et en facteur dans $0{,}9+0{,}1n$ : appliquer $\ln$ ne permet pas d'isoler $n$. On procède par balayage.
def seuil():
n = 1
while 0.9**(n - 1) * (0.9 + 0.1*n) > 0.05:
n = n + 1
return n
La boucle s'arrête au premier $n$ tel que $u_n\leqslant0{,}05$.
- $u_{45}\approx0{,}0524>0{,}05$ et $u_{46}\approx0{,}0480\leqslant0{,}05$. Par décroissance de $(u_n)$, on a $u_n>0{,}05$ pour tout $n\leqslant45$ et $u_n\leqslant0{,}05$ pour tout $n\geqslant46$. La fonction renvoie donc
46: il faut semer au moins 46 graines. On a alors $P(X\geqslant2)\approx0{,}9520$ (contre $\approx0{,}9476$ pour 45 graines).
u_n = 0,9^(n−1)(0,9 + 0,1n) ; n = 46