Exercice corrigé : Le problème du chevalier de Méré

Au XVIIe siècle, le chevalier de Méré pariait sur deux jeux.

1. On lance $n$ fois un dé équilibré. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d'obtenir au moins un six soit strictement supérieure à $\dfrac12$.
2. On lance $n$ fois deux dés équilibrés simultanément, les lancers étant indépendants. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d'obtenir au moins un double six soit strictement supérieure à $\dfrac12$.
3. Méré pensait que, le double six étant 6 fois moins probable qu'un six, il suffisait de 6 fois plus de lancers, soit $6\times4=24$. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un double six en 24 lancers (arrondi à $10^{-4}$) et conclure.
4. Plus généralement, soit $p\in\,]0\,;1[$ et $X\sim\mathcal B(n,p)$. Montrer que $P(X\geqslant1)>\dfrac12\iff n>\dfrac{\ln2}{-\ln(1-p)}$.