Exercice corrigé : Équation différentielle, étude de fonction et primitive (type bac)

Partie A. On considère l'équation différentielle $(E) : y'+y=2e^{-x}$ sur $\mathbb R$.

1. Déterminer le réel $\alpha$ tel que la fonction $u(x)=\alpha x\,e^{-x}$ soit solution de $(E)$.
2. Résoudre $(E)$.
3. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=1$.

Partie B. On admet que $f(x)=(2x+1)e^{-x}$ pour tout réel $x$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement la seconde.
2. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
3. Étudier le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

Partie C.

1. En utilisant le fait que $f$ est solution de $(E)$, montrer que la fonction $F$ définie par $F(x)=-2e^{-x}-f(x)$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb R$.
2. Écrire $F(x)$ sous la forme $(ax+b)e^{-x}$ et vérifier le résultat par dérivation.
3. Déterminer la primitive $G$ de $f$ sur $\mathbb R$ telle que $G(0)=0$.