À l'instant $t=0$, un gâteau sort du four à la température de $180\,^\circ\mathrm C$ et est posé dans une cuisine à $20\,^\circ\mathrm C$. On note $\theta(t)$ sa température en $^\circ\mathrm C$ à l'instant $t$ en minutes. Selon la loi de Newton, il existe un réel $k>0$ tel que $$\theta'(t)=-k\big(\theta(t)-20\big)\quad\text{pour tout } t\geqslant0.$$
- Mettre cette équation sous la forme $y'=ay+b$ et donner ses solutions en fonction de $k$.
- En déduire que $\theta(t)=20+160e^{-kt}$.
- On mesure une température de $100\,^\circ\mathrm C$ au bout de $10$ minutes. Montrer que $k=\frac{\ln2}{10}$.
- Étudier le sens de variation de $\theta$ sur $[0;+\infty[$ et sa limite en $+\infty$. Interpréter.
- Montrer que, pour tout $t\geqslant0$, $\theta(t+10)-20=\frac12\big(\theta(t)-20\big)$. Interpréter.
- Le gâteau peut être servi lorsque sa température est inférieure ou égale à $40\,^\circ\mathrm C$. À partir de quel instant peut-il être servi ?
Question 1 : développer $-k(\theta-20)$ pour lire $a$ et $b$.
Question 3 : écrire $\theta(10)=100$ et isoler l'exponentielle avant d'appliquer $\ln$.
Question 5 : utiliser $e^{-k(t+10)}=e^{-kt}\times e^{-10k}$ et la valeur de $e^{-10k}$ trouvée à la question 3.
1. L'équation s'écrit $\theta'=-k\theta+20k$ : $a=-k$ et $b=20k$. La solution constante vérifie $0=-kc+20k$, soit $c=20$ (car $k\neq0$). Les solutions sont les fonctions $t\mapsto Ce^{-kt}+20$, $C\in\mathbb R$.
2. $\theta(0)=180$ donne $C+20=180$, soit $C=160$. Donc $\theta(t)=20+160e^{-kt}$.
3. $\theta(10)=100\iff160e^{-10k}=80\iff e^{-10k}=\frac12\iff-10k=-\ln2\iff k=\frac{\ln2}{10}$. On a $k\approx0{,}069$.
4. $\theta'(t)=-160k\,e^{-kt}$. Comme $k>0$ et $e^{-kt}>0$, $\theta'(t)<0$ : $\theta$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
Comme $-k<0$, $\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-kt}=0$, donc $\lim\limits_{t\to+\infty}\theta(t)=20$. Le gâteau refroidit en permanence et sa température tend vers celle de la cuisine.
5. $\theta(t+10)-20=160e^{-k(t+10)}=160e^{-kt}\times e^{-10k}=\frac12\times160e^{-kt}=\frac12\big(\theta(t)-20\big)$, car $e^{-10k}=\frac12$ d'après la question 3.
L'écart entre la température du gâteau et celle de la cuisine est divisé par $2$ toutes les $10$ minutes.
6. $\theta(t)\leqslant40\iff160e^{-kt}\leqslant20\iff e^{-kt}\leqslant\frac18\iff -kt\leqslant-\ln8\iff t\geqslant\frac{\ln8}{k}$, par croissance stricte de $\ln$ et car $k>0$.
Or $\frac{\ln8}{k}=\frac{3\ln2\times10}{\ln2}=30$. Le gâteau peut être servi à partir de $30$ minutes. Cohérent avec la question 5 : l'écart passe de $160$ à $80$, $40$, puis $20$ en trois périodes de $10$ minutes.
$\theta(t)=20+160e^{-\frac{\ln2}{10}t}$ ; décroissante, limite $20$ ; servi à partir de $t=30$ min