Chercher une solution particulière de forme imposéeRésoudre une équation y' = ay + fRaisonner sur le comportement des solutions
On considère l'équation différentielle $(E) : y'=2y+\cos x$ sur $\mathbb R$.
- Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels et $p(x)=\alpha\cos x+\beta\sin x$. Déterminer $\alpha$ et $\beta$ pour que $p$ soit solution de $(E)$.
- Résoudre $(E)$.
- Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=0$.
- Montrer que $(E)$ admet une unique solution bornée sur $[0;+\infty[$.
Indice 1
Question 1 : si $p$ est solution, l'égalité est vraie en particulier pour $x=0$ et $x=\frac\pi2$ ; cela donne deux équations. Vérifier ensuite la réciproque.
Indice 2
Question 4 : majorer $|p(x)|$ par une constante, puis étudier le comportement de $Ce^{2x}+p(x)$ selon le signe de $C$.
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