Une goutte d'eau tombe sans vitesse initiale. On note $v(t)$ sa vitesse en m/s à l'instant $t$ en secondes. Compte tenu des frottements de l'air, on admet que $$v'(t)=9{,}8-0{,}5\,v(t)\quad\text{pour } t\geqslant0,\qquad v(0)=0.$$
- Déterminer $v(t)$.
- Déterminer la limite de $v(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Interpréter.
- Au bout de combien de temps la goutte atteint-elle $95\,\%$ de cette vitesse limite ? Valeur exacte puis arrondi au dixième de seconde.
- On note $d(t)$ la distance parcourue en mètres, avec $d(0)=0$ et $d'(t)=v(t)$. Déterminer $d(t)$.
- Calculer la distance parcourue pendant les $10$ premières secondes, arrondie au dixième de mètre, et la comparer à celle obtenue si la goutte avait eu sa vitesse limite dès le départ.
Écrire l'équation sous la forme $v'=av+b$ et chercher la solution constante.
Question 3 : écrire l'équation $v(t)=0{,}95\times v_{\text{lim}}$ et isoler l'exponentielle.
Question 4 : $d$ est la primitive de $v$ qui s'annule en $0$ ; une primitive de $e^{-0{,}5t}$ est $-2e^{-0{,}5t}$.
1. L'équation s'écrit $v'=-0{,}5\,v+9{,}8$ : $a=-0{,}5$, $b=9{,}8$. La solution constante vérifie $0=-0{,}5k+9{,}8$, soit $k=19{,}6$. Les solutions sont les fonctions $t\mapsto Ce^{-0{,}5t}+19{,}6$. La condition $v(0)=C+19{,}6=0$ donne $C=-19{,}6$ : $$v(t)=19{,}6\left(1-e^{-0{,}5t}\right).$$ Vérification : $v'(t)=9{,}8e^{-0{,}5t}$ et $9{,}8-0{,}5v(t)=9{,}8-9{,}8+9{,}8e^{-0{,}5t}=9{,}8e^{-0{,}5t}$.
2. Comme $\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-0{,}5t}=0$, on a $\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=19{,}6$. La vitesse se stabilise vers une vitesse limite de $19{,}6$ m/s : les frottements finissent par compenser le poids.
3. $v(t)=0{,}95\times19{,}6\iff 1-e^{-0{,}5t}=0{,}95\iff e^{-0{,}5t}=0{,}05\iff -0{,}5t=\ln(0{,}05)=-\ln20\iff t=2\ln20$.
La goutte atteint $95\,\%$ de sa vitesse limite au bout de $2\ln20\approx6{,}0$ s.
4. $v(t)=19{,}6-19{,}6e^{-0{,}5t}$. Une primitive de $e^{-0{,}5t}$ est $-2e^{-0{,}5t}$, donc les primitives de $v$ sont les fonctions $t\mapsto19{,}6t+39{,}2e^{-0{,}5t}+K$. La condition $d(0)=39{,}2+K=0$ donne $K=-39{,}2$ : $$d(t)=19{,}6t+39{,}2\left(e^{-0{,}5t}-1\right).$$ Vérification : $d'(t)=19{,}6-19{,}6e^{-0{,}5t}=v(t)$.
5. $d(10)=196+39{,}2(e^{-5}-1)=156{,}8+39{,}2e^{-5}\approx157{,}1$ m. À vitesse constante $19{,}6$ m/s, la goutte aurait parcouru $196$ m : la phase d'accélération lui fait perdre environ $39$ m.
$v(t)=19{,}6(1-e^{-0{,}5t})$ ; limite $19{,}6$ m/s ; $t=2\ln20\approx6{,}0$ s ; $d(t)=19{,}6t+39{,}2(e^{-0{,}5t}-1)$ ; $d(10)\approx157{,}1$ m