Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $$f(x)=\frac{3x+2}{x+2}.$$ On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
Partie A : étude de la fonction
- Montrer que $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$.
- Résoudre dans $[0\,;+\infty[$ l'équation $f(x)=x$.
Partie B : étude de la suite
- Calculer $u_1$ et $u_2$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$.
- En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
Partie C : expression explicite et limite
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}$.
- Justifier que $v_n$ est bien défini pour tout $n\in\mathbb{N}$.
- Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac14$. Préciser $v_0$.
- Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
- Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=\dfrac{2+v_n}{1-v_n}$, puis en déduire que $u_n=\dfrac{2\times 4^n-2}{4^n+2}$.
- Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Partie A : dériver $f$ comme un quotient. Pour l'équation, multiplier par $x+2>0$ et factoriser le trinôme obtenu.
Partie B : appliquer $f$, croissante, à l'encadrement, puis calculer $f(0)$ et $f(2)$.
Partie C, question 2 : calculer séparément $u_{n+1}-2$ et $u_{n+1}+1$ en fonction de $u_n$, puis leur quotient.
Partie C, question 4 : partir de $v_n(u_n+1)=u_n-2$ et isoler $u_n$.
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