On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$u_{n+1}=\frac12u_n+\frac12n+1.$$
Partie A : premières propriétés
- Calculer $u_1$ et $u_2$. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n\leq u_n\leq n+2$.
- a. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=\dfrac12(n+2-u_n)$. b. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
- Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Partie B : expression explicite
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $v_n=u_n-n$.
- Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
- En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=n+2^{1-n}$.
- Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}$.
Partie C : algorithmique
On considère la fonction Python suivante, incomplète.
def seuil(A):
n = 0
u = 2
while ...:
u = ...
n = n + 1
return n
- Compléter cette fonction pour qu'elle renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geq A$.
- Déterminer, sans exécuter le programme, la valeur renvoyée par
seuil(100).
Partie A, question 2 : multiplier l'encadrement par $\dfrac12>0$, puis ajouter $\dfrac12n+1$.
Partie A, question 3.b : utiliser l'inégalité $u_n\leq n+2$ obtenue à la question 2.
Partie B : exprimer $v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)$ en fonction de $u_n$, puis de $v_n$.
Partie C : dans la boucle, la mise à jour de $u$ doit utiliser l'ancienne valeur de $n$, avant son incrémentation.
Partie A
1. $u_1=\dfrac12\times 2+\dfrac12\times 0+1=2$ et $u_2=\dfrac12\times 2+\dfrac12\times 1+1=2{,}5$.
$u_1-u_0=0$ et $u_2-u_1=0{,}5$ : ces différences ne sont pas égales, la suite n'est pas arithmétique. $\dfrac{u_1}{u_0}=1$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=1{,}25$ : ces quotients ne sont pas égaux, la suite n'est pas géométrique.
2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $n\leq u_n\leq n+2$ ».
Initialisation. $u_0=2$ et $0\leq 2\leq 2$ : $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $n\leq u_n\leq n+2$. Montrons que $n+1\leq u_{n+1}\leq n+3$.
En multipliant par $\dfrac12>0$ : $\dfrac n2\leq\dfrac12u_n\leq\dfrac n2+1$. En ajoutant $\dfrac12n+1$ : $$n+1\leq u_{n+1}\leq n+2.$$ Comme $n+2\leq n+3$, on obtient $n+1\leq u_{n+1}\leq n+3$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n\leq u_n\leq n+2$.
3.a. $u_{n+1}-u_n=\dfrac12u_n+\dfrac12n+1-u_n=-\dfrac12u_n+\dfrac12n+1=\dfrac12(n+2-u_n)$.
3.b. D'après la question 2, $u_n\leq n+2$, donc $n+2-u_n\geq 0$ et $u_{n+1}-u_n\geq 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.
4. Pour tout $n$, $u_n\geq n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty$. Par comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
Partie B
1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\frac12u_n+\frac12n+1-n-1=\frac12u_n-\frac12n=\frac12(u_n-n)=\frac12v_n.$$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $v_0=u_0-0=2$.
2. Pour tout $n$, $v_n=2\left(\dfrac12\right)^n=\dfrac{2}{2^n}=2^{1-n}$. Donc $u_n=v_n+n=n+2^{1-n}$.
3. Pour $n\geq 1$, $\dfrac{u_n}{n}=1+\dfrac{2^{1-n}}{n}$. Comme $0<\dfrac12<1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}2^{1-n}=\lim\limits_{n\to+\infty}2\left(\dfrac12\right)^n=0$, et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$. Par produit, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2^{1-n}}{n}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}=1$.
Partie C
1.
def seuil(A):
n = 0
u = 2
while u < A:
u = u/2 + n/2 + 1
n = n + 1
return n
La boucle continue tant que $u_n<A$. La nouvelle valeur de u est calculée avec l'ancienne valeur de n, conformément à $u_{n+1}=\frac12u_n+\frac12n+1$, puis n est augmenté de $1$.
2. $u_{99}=99+2^{-98}<100$ et $u_{100}=100+2^{-99}\geq 100$. Comme $(u_n)$ est croissante, $u_n\leq u_{99}<100$ pour tout $n\leq 99$. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geq 100$ est donc $100$ : seuil(100) renvoie $100$.
$u_1=2$, $u_2=2{,}5$ ; $(u_n)$ croissante, $\lim u_n=+\infty$ ; $u_n=n+2^{1-n}$ ; $\lim\frac{u_n}{n}=1$ ; seuil(100) renvoie 100