OffresSe connecter
Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Calculer la variance d'une somme

Calculer la variance d'une somme : méthode (MPSI)

Méthode

Calculer la variance d'une somme

  1. Écrire la variable comme une somme $\sum X_i$ (souvent d'indicatrices).
  2. Calculer chaque $V(X_i)$ ; pour une indicatrice, $V(\mathbf 1_A)=P(A)(1-P(A))$.
  3. Si les $X_i$ sont deux à deux indépendantes, conclure par $V=\sum V(X_i)$.
  4. Sinon, calculer $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=E(X_iX_j)-E(X_i)E(X_j)$ pour $i\neq j$ (pour des indicatrices : $P(A_i\cap A_j)-P(A_i)P(A_j)$) et utiliser la formule générale.
Remarque

Inégalité de Cauchy-Schwarz

On a $|\mathrm{Cov}(X,Y)|\leqslant\sigma(X)\,\sigma(Y)$. Preuve : pour tout $t\in\mathbb{R}$, $V(X+tY)=V(X)+2t\,\mathrm{Cov}(X,Y)+t^2V(Y)\geqslant0$. Si $V(Y)>0$, ce trinôme en $t$ est de signe constant, donc son discriminant $4\mathrm{Cov}(X,Y)^2-4V(X)V(Y)$ est négatif ou nul. Si $V(Y)=0$, $Y$ est presque sûrement constante et $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$. Ce résultat est classique et se redémontre ainsi le jour du concours.

S’entraîner

Dans le cours

Variables aléatoires sur un univers fini : Calculer la variance d'une somme

Voir aussi en Terminale spé : Calculer la variance d'une somme