Appliquer la formule de VandermondeFactoriser un déterminant par opérations élémentaires et linéarité
- Calculer $V(1,2,4,8)=\det\big(x_i^{\,j-1}\big)_{1\leqslant i,j\leqslant4}$ avec $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,2,4,8)$.
- Pour $a,b,c\in\mathbb R$, on pose $$D(a,b,c)=\det\begin{pmatrix}1&a&a^3\\1&b&b^3\\1&c&c^3\end{pmatrix}.$$ Montrer que $D(a,b,c)=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)$.
- À quelle condition sur $a,b,c$ a-t-on $D(a,b,c)=0$ ? Donner un exemple avec $a,b,c$ deux à deux distincts.
Indice 1
Pour la première question, écrire les six facteurs $x_j-x_i$ avec $i<j$.
Indice 2
Retrancher la première ligne aux deux autres, puis factoriser $b-a$ dans une ligne et $c-a$ dans l'autre grâce à $y^3-a^3=(y-a)(y^2+ay+a^2)$.
Indice 3
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.
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