Déterminer noyau, image et rang : méthode (MPSI)

Soit $u(x,y,z,t) = (x+y+z+t, \; x-y, \; z-t)$. Le noyau est défini par $x = y$, $z = t$ et $2y + 2t = 0$, soit $t = -y$ : $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Vect}((1,1,-1,-1))$, de dimension $1$.

Par le théorème du rang, $\operatorname{rg} u = 4 - 1 = 3 = \dim \mathbb{R}^3$ : $u$ est surjective. Aucune résolution de système $u(x) = b$ n'est nécessaire.

Soit $n \geq 1$ et $\Delta : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_{n-1}[X]$, $P \mapsto P(X+1) - P(X)$.

• $\Delta$ est bien à valeurs dans $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ : si $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$, le coefficient de $X^n$ dans $P(X+1)$ est $a_n$, donc il disparaît dans la différence. La linéarité est immédiate.
• Noyau : si $P(X+1) = P(X)$, alors $P(k) = P(0)$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ par récurrence ; le polynôme $P - P(0)$ a une infinité de racines, il est nul. Donc $\operatorname{Ker} \Delta = \mathbb{R}_0[X]$, de dimension $1$.
• Rang : $\operatorname{rg} \Delta = (n+1) - 1 = n = \dim \mathbb{R}_{n-1}[X]$.

Conclusion : $\Delta$ est surjective. Pour tout $Q$ de degré au plus $n-1$, il existe $P \in \mathbb{R}_n[X]$ tel que $P(X+1) - P(X) = Q$, et $P$ est unique à une constante additive près.