Prépa, 1re année › Dimension finie › Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$
Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$ : énoncé (MPSI)
Propriété
Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$
Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, $\mathcal{L}(E,F)$ est de dimension finie et $$\dim \mathcal{L}(E,F) = \dim E \times \dim F.$$ En particulier, $\dim \mathcal{L}(E) = (\dim E)^2$ et le dual $E^* = \mathcal{L}(E, \mathbb{K})$ vérifie $\dim E^* = \dim E$.
Démonstration : Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$
Démonstration
Preuve
Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. L'application $\Phi : \mathcal{L}(E,F) \to F^n$, $u \mapsto (u(e_1), \dots, u(e_n))$ est linéaire, et bijective d'après le théorème de détermination par l'image d'une base. Donc $\dim \mathcal{L}(E,F) = \dim F^n = n \dim F$ (dimension d'un produit).
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Une famille de polynômes trompeuse
- Formule de Grassmann dans $\mathbb{R}^4$
- Un supplémentaire dans $\mathbb{R}_3[X]$