Injectivité, surjectivité et image d'une base : énoncé (MPSI)
Injectivité, surjectivité et image d'une base
Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$ et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. Alors $\operatorname{Im} u = \operatorname{Vect}(u(e_1), \dots, u(e_n))$ et :
- $u$ est injective si et seulement si $(u(e_1), \dots, u(e_n))$ est libre ;
- $u$ est surjective si et seulement si $(u(e_1), \dots, u(e_n))$ engendre $F$ ;
- $u$ est un isomorphisme si et seulement si $(u(e_1), \dots, u(e_n))$ est une base de $F$.
Démonstration : Injectivité, surjectivité et image d'une base
Preuve
Pour $x = \sum \lambda_i e_i$, on a $u(x) = \sum \lambda_i u(e_i)$, d'où l'expression de $\operatorname{Im} u$, puis le point sur la surjectivité.
Si $u$ est injective et $\sum \lambda_i u(e_i) = 0$, alors $u(\sum \lambda_i e_i) = 0$, donc $\sum \lambda_i e_i = 0$ et tous les $\lambda_i$ sont nuls. Réciproquement, si la famille image est libre et $u(x) = 0$ avec $x = \sum \lambda_i e_i$, alors $\sum \lambda_i u(e_i) = 0$, donc les $\lambda_i$ sont nuls et $x = 0$ : $\operatorname{Ker} u = \{0\}$.
Le dernier point combine les deux premiers.
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Rang d'une famille de $\mathbb{R}^4$ par échelonnement
- Une famille de polynômes trompeuse
- Noyau et image d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
Dans le cours
Dimension finie : Injectivité, surjectivité et image d'une base