Rang d'une composée : énoncé (MPSI)
Rang d'une composée
Soit $u \in \mathcal{L}(E,F)$ et $v \in \mathcal{L}(F,G)$, avec $E$ et $F$ de dimension finie.
- $\operatorname{rg}(v \circ u) \leq \min(\operatorname{rg} u, \operatorname{rg} v)$.
- Si $u$ est un isomorphisme, $\operatorname{rg}(v \circ u) = \operatorname{rg} v$.
- Si $v$ est un isomorphisme, $\operatorname{rg}(v \circ u) = \operatorname{rg} u$. Composer par un isomorphisme ne change pas le rang.
Démonstration : Rang d'une composée
Preuve
$\operatorname{Im}(v \circ u) \subset \operatorname{Im} v$, d'où $\operatorname{rg}(v \circ u) \leq \operatorname{rg} v$. Par ailleurs $\operatorname{Im}(v \circ u) = v(\operatorname{Im} u)$ : si $(y_1, \dots, y_r)$ est une base de $\operatorname{Im} u$, alors $(v(y_1), \dots, v(y_r))$ engendre $v(\operatorname{Im} u)$, donc $\operatorname{rg}(v \circ u) \leq r = \operatorname{rg} u$.
Si $u$ est un isomorphisme, $\operatorname{Im} u = F$ et $\operatorname{Im}(v \circ u) = v(F) = \operatorname{Im} v$.
Si $v$ est un isomorphisme, $v$ est injective, donc la famille $(v(y_1), \dots, v(y_r))$ est libre (image d'une famille libre par une application injective) : c'est une base de $v(\operatorname{Im} u)$, de cardinal $r$.
S’entraîner
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