Prépa, 1re année › Dimension finie › Espaces isomorphes
Espaces isomorphes : énoncé (MPSI)
Théorème
Espaces isomorphes
Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension. En particulier, tout espace de dimension $n$ est isomorphe à $\mathbb{K}^n$, via l'application qui à un vecteur associe ses coordonnées dans une base.
De plus, un espace isomorphe à un espace de dimension finie est de dimension finie, de même dimension.
Démonstration : Espaces isomorphes
Démonstration
Preuve
Si $u : E \to F$ est un isomorphisme et $(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$, alors $(u(e_1), \dots, u(e_n))$ est une base de $F$, donc $F$ est de dimension finie et $\dim F = n$.
Réciproquement, si $\dim E = \dim F = n$, avec des bases $(e_i)$ et $(f_i)$, l'application linéaire définie par $u(e_i) = f_i$ envoie une base sur une base : c'est un isomorphisme.
S’entraîner
- Une famille de polynômes trompeuse
- Noyau et image d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
- Un supplémentaire dans $\mathbb{R}_3[X]$
- Rang d'une somme d'applications linéaires
- Noyau d'une composée et inégalité de Sylvester