Montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires : méthode (MPSI)
Montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires
- Calculer $\dim F$ et $\dim G$ et vérifier que leur somme vaut $\dim E$.
- Vérifier une seule des deux conditions, en général $F \cap G = \{0\}$ (on prend $x$ dans les deux et on montre $x = 0$). Sans la condition de dimension, $F \cap G = \{0\}$ ne suffit pas.
Un hyperplan et une droite de $\mathbb{R}^4$
Soit $F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x + y + z + t = 0\}$ et $G = \operatorname{Vect}((1,1,1,1))$.
On a $(x,y,z,t) \in F \iff x = -y - z - t$, donc $F = \operatorname{Vect}((-1,1,0,0), (-1,0,1,0), (-1,0,0,1))$ ; ces trois vecteurs sont libres (regarder les trois dernières coordonnées), donc $\dim F = 3$. Et $\dim G = 1$, d'où $\dim F + \dim G = 4 = \dim \mathbb{R}^4$.
Si $(a,a,a,a) \in F$, alors $4a = 0$, donc $a = 0$ : $F \cap G = \{0\}$. Conclusion : $\mathbb{R}^4 = F \oplus G$.
Deux plans distincts de $\mathbb{R}^3$
Soit $P$ et $P'$ deux plans vectoriels distincts de $\mathbb{R}^3$. Comme $P \neq P'$ et $\dim P = \dim P'$, on a $P' \not\subset P$, donc $P \subsetneq P + P'$, d'où $2 < \dim(P + P') \leq 3$ : $\dim(P + P') = 3$. Par Grassmann, $\dim(P \cap P') = 2 + 2 - 3 = 1$ : deux plans vectoriels distincts de $\mathbb{R}^3$ se coupent selon une droite.
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Une famille de polynômes trompeuse
- Noyau et image d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
- Formule de Grassmann dans $\mathbb{R}^4$
Dans le cours
Dimension finie : Montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires