Théorème du rang : énoncé (MPSI)
Théorème du rang
Soit $u \in \mathcal{L}(E,F)$.
Forme géométrique. Si $S$ est un supplémentaire de $\operatorname{Ker} u$ dans $E$, alors la restriction $u_{|S} : S \to \operatorname{Im} u$, $x \mapsto u(x)$ est un isomorphisme.
Formule. Si $E$ est de dimension finie ($F$ quelconque) : $$\dim E = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg} u.$$
Démonstration : Théorème du rang
Preuve
L'application $w = u_{|S} : S \to \operatorname{Im} u$ est bien définie et linéaire.
Injectivité. Si $x \in S$ et $w(x) = 0$, alors $x \in S \cap \operatorname{Ker} u = \{0\}$.
Surjectivité. Soit $y \in \operatorname{Im} u$, $y = u(x)$ avec $x \in E$. On écrit $x = k + s$ avec $k \in \operatorname{Ker} u$ et $s \in S$. Alors $y = u(k) + u(s) = u(s) = w(s)$.
Si $E$ est de dimension finie, $\operatorname{Ker} u$ admet un supplémentaire $S$, avec $\dim S = \dim E - \dim \operatorname{Ker} u$. Comme $S$ et $\operatorname{Im} u$ sont isomorphes, $\operatorname{rg} u = \dim S = \dim E - \dim \operatorname{Ker} u$.
Le noyau et l'image ne sont pas toujours supplémentaires
La formule du rang donne $\dim \operatorname{Ker} u + \dim \operatorname{Im} u = \dim E$ lorsque $u \in \mathcal{L}(E)$, mais pas $E = \operatorname{Ker} u \oplus \operatorname{Im} u$. Contre-exemple : $u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $(x,y) \mapsto (y, 0)$. On a $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Im} u = \mathbb{R}(1,0)$.
De même, c'est la dimension de l'espace de départ qui intervient, jamais celle de l'espace d'arrivée.
S’entraîner
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