Raisonner par l'absurdeManipuler $\mathcal{P}(E)$ et les applications à valeurs dans $\mathcal{P}(E)$
Soit $E$ un ensemble et $f : E \to \mathcal{P}(E)$ une application. On pose $D = \{x \in E \mid x \notin f(x)\}$.
- Exemple : $E = \{1, 2, 3\}$, $f(1) = \{1, 2\}$, $f(2) = \varnothing$, $f(3) = \{1, 3\}$. Déterminer $D$ et vérifier que $D$ n'est pas une valeur de $f$.
- Dans le cas général, montrer que $D$ n'a pas d'antécédent par $f$. Que peut-on en conclure ?
- Montrer qu'il existe une injection de $E$ dans $\mathcal{P}(E)$.
- Peut-il exister une bijection de $E$ sur $\mathcal{P}(E)$ ?
Indice 1
Pour chaque $x$, tester si $x$ appartient à sa propre image $f(x)$.
Indice 2
Supposer $D = f(a)$ et se demander si $a \in D$.
Indice 3
Penser aux singletons.
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