Prépa, 1re année › Espaces vectoriels et applications linéaires › Image d'une base
Image d'une base : énoncé (MPSI)
Propriété
Image d'une base
Soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$ et $(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$. Alors :
- $f$ est injective si et seulement si $(f(e_i))_{i\in I}$ est libre ;
- $f$ est surjective si et seulement si $(f(e_i))_{i\in I}$ est génératrice de $F$ ;
- $f$ est un isomorphisme si et seulement si $(f(e_i))_{i\in I}$ est une base de $F$.
Démonstration : Image d'une base
Démonstration
Preuve
Le point sur la surjectivité découle de $\operatorname{Im} f=\mathrm{Vect}(f(e_i))$.
Injectivité. Supposons $f$ injective et $\sum\lambda_if(e_i)=0_F$ (somme finie). Alors $f\big(\sum\lambda_ie_i\big)=0_F$, donc $\sum\lambda_ie_i\in\ker f=\{0_E\}$, puis tous les $\lambda_i$ sont nuls par liberté des $e_i$.
Réciproquement, supposons $(f(e_i))$ libre et soit $x\in\ker f$. On écrit $x=\sum\lambda_ie_i$. Alors $0_F=f(x)=\sum\lambda_if(e_i)$, donc tous les $\lambda_i$ sont nuls et $x=0_E$. Ainsi $\ker f=\{0_E\}$.
Le troisième point est la conjonction des deux premiers.
S’entraîner
- Des équations à une base
- Noyau et image d'une application de R^3 dans R^2
- Un endomorphisme de R_2[X]
- Noyaux, images et composition
- Suites récurrentes linéaires d'ordre deux
Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Image d'une base