Image d'une famille génératrice : énoncé (MPSI)
Image d'une famille génératrice
Soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$ et $(e_i)_{i\in I}$ une famille génératrice de $E$. Alors
$$\operatorname{Im} f=\mathrm{Vect}\big(f(e_i)\big)_{i\in I}.$$
Plus généralement, $f(\mathrm{Vect}(x_i))=\mathrm{Vect}(f(x_i))$. En effet, l'image d'une combinaison linéaire des $x_i$ est la combinaison linéaire des $f(x_i)$ avec les mêmes coefficients.
Noyau et image d'un endomorphisme de R^3
Soit $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z,\ x-z)$.
Noyau. $(x,y,z)\in\ker f\iff\begin{cases}x+y=0\\ y+z=0\\ x-z=0\end{cases}$. Les deux premières lignes donnent $x=-y$ et $z=-y$ ; la troisième, $-y-(-y)=0$, est alors automatiquement vraie. Donc $\ker f=\{(-y,y,-y)\mid y\in\mathbb{R}\}=\mathrm{Vect}\big((1,-1,1)\big)$. Vérification : $f(1,-1,1)=(0,0,0)$. En particulier $f$ n'est pas injective.
Image. Avec la base canonique : $f(e_1)=(1,0,1)$, $f(e_2)=(1,1,0)$, $f(e_3)=(0,1,-1)$. On remarque $f(e_3)=f(e_2)-f(e_1)$, donc
$$\operatorname{Im} f=\mathrm{Vect}\big((1,0,1),(1,1,0)\big).$$
Un vecteur $(a,b,c)$ vaut $\alpha(1,0,1)+\beta(1,1,0)=(\alpha+\beta,\beta,\alpha)$ si et seulement si $\beta=b$, $\alpha=c$ et $a=b+c$. Donc $\operatorname{Im} f=\{(a,b,c)\mid a=b+c\}$. Contrôle direct : $x+y=(y+z)+(x-z)$. Comme $(1,0,0)\notin\operatorname{Im} f$, $f$ n'est pas surjective.
S’entraîner
- Des équations à une base
- Liberté selon un paramètre
- Noyau et image d'une application de R^3 dans R^2
- Un endomorphisme de R_2[X]
- Noyaux, images et composition
Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Image d'une famille génératrice