Détermination par l'image d'une base : énoncé (MPSI)
Détermination par l'image d'une base
Soit $(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$ et $(y_i)_{i\in I}$ une famille quelconque de vecteurs de $F$. Il existe une unique application $f\in\mathcal{L}(E,F)$ telle que $f(e_i)=y_i$ pour tout $i\in I$.
Autrement dit, une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base, et ces images peuvent être choisies librement.
Démonstration : Détermination par l'image d'une base
Preuve
Unicité. Si $f$ convient, alors pour $x=\sum\lambda_ie_i$ on a nécessairement $f(x)=\sum\lambda_iy_i$ par linéarité.
Existence. Tout $x\in E$ s'écrit de manière unique $x=\sum\lambda_ie_i$. On pose $f(x)=\sum\lambda_iy_i$ : c'est bien défini grâce à l'unicité des coordonnées. Si $x=\sum\lambda_ie_i$ et $x'=\sum\lambda'_ie_i$, les coordonnées de $\alpha x+\beta x'$ sont les $\alpha\lambda_i+\beta\lambda'_i$, donc
$$f(\alpha x+\beta x')=\sum(\alpha\lambda_i+\beta\lambda'_i)y_i=\alpha f(x)+\beta f(x').$$
$f$ est linéaire, et $f(e_i)=y_i$ car les coordonnées de $e_i$ valent $1$ en $i$ et $0$ ailleurs.
S’entraîner
- Des équations à une base
- Noyau et image d'une application de R^3 dans R^2
- Un endomorphisme de R_2[X]
- Noyaux, images et composition
- Suites récurrentes linéaires d'ordre deux
Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Détermination par l'image d'une base