Prépa, 1re année › Espaces vectoriels et applications linéaires › Injectivité et noyau
Injectivité et noyau : énoncé (MPSI)
Théorème
Injectivité et noyau
Soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors $f$ est injective si et seulement si $\ker f=\{0_E\}$.
Démonstration : Injectivité et noyau
Démonstration
Preuve
Si $f$ est injective et $x\in\ker f$, alors $f(x)=0_F=f(0_E)$, donc $x=0_E$. Ainsi $\ker f=\{0_E\}$ (l'inclusion réciproque est toujours vraie).
Si $\ker f=\{0_E\}$ et $f(x)=f(x')$, alors $f(x-x')=f(x)-f(x')=0_F$, donc $x-x'\in\ker f$, d'où $x=x'$. Donc $f$ est injective.
S’entraîner
- Noyau et image d'une application de R^3 dans R^2
- Un endomorphisme de R_2[X]
- Noyaux, images et composition
- Somme de deux projecteurs
- Noyau et image en somme directe
Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Injectivité et noyau