Établir une identité entre fonctions réciproques : méthode (MPSI)

Posons $a = \arctan\frac{1}{2}$ et $b = \arctan\frac{1}{3}$. Comme $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1$ et que $\arctan$ est strictement croissante, $0 < b < a < \frac{\pi}{4}$, donc $a + b \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$. Sur cet intervalle, $\tan$ est définie et injective. Or $$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{5/6}{5/6} = 1 = \tan\frac{\pi}{4}.$$ Comme $\frac{\pi}{4} \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$, on conclut que $a + b = \frac{\pi}{4}$.

Soit $f(x) = \arctan x + \arctan(2x)$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes), de limites $-\pi$ en $-\infty$ et $\pi$ en $+\infty$. Par le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = \frac{\pi}{4}$ a une unique solution $x_0$. Comme $f(0) = 0 < \frac{\pi}{4}$ et que $f$ est strictement croissante, $x_0 > 0$.

Calcul de $x_0$ : posons $a = \arctan x_0$ et $b = \arctan(2x_0)$, avec $a + b = \frac{\pi}{4}$. Les réels $a$, $b$, $a + b$ ne sont pas de la forme $\frac{\pi}{2} + k\pi$, donc la formule d'addition s'applique : $$1 = \tan(a + b) = \frac{x_0 + 2x_0}{1 - 2x_0^2},\quad\text{d'où}\quad 2x_0^2 + 3x_0 - 1 = 0.$$ Le discriminant vaut $9 + 8 = 17$, donc $x_0 = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$. Seule la racine positive convient : $$x_0 = \frac{\sqrt{17} - 3}{4} \approx 0{,}28.$$ L'existence de la solution a été établie à part ; comme elle figure nécessairement parmi les candidats, aucune vérification supplémentaire n'est nécessaire.