Simplifier $\arcsin(\sin x)$, $\arccos(\cos x)$, $\arctan(\tan x)$ : méthode (MPSI)

1. Repérer l'intervalle de référence : $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ pour $\arcsin$, $[0, \pi]$ pour $\arccos$, $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ pour $\arctan$.
2. Trouver un réel $\theta$ de cet intervalle qui a le même sinus (resp. cosinus, tangente) que $x$, à l'aide de la périodicité et des symétries : $\sin(\pi - x) = \sin x$, $\cos(-x) = \cos x$, $\tan(x - k\pi) = \tan x$.
3. Conclure : le résultat est $\theta$.

Exemples :

• $\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\pi}{3}$, car $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$ et $\cos\frac{\pi}{3} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
• $\arctan\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{4}$, car $\frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4} \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$.
• $\arccos\left(\cos\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$, car $\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$.
• Pour $x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ : $\pi - x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$, donc $\arcsin(\sin x) = \pi - x$.