Inégalité triangulaire complexe : énoncé (MPSI)

Pour $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ continue par morceaux et $a\le b$ : $\left|\int_a^b f\right|\le\int_a^b|f|$.

Preuve. Posons $z=\int_a^b f$. Si $z=0$ c'est clair. Sinon, écrivons $z=|z|e^{i\theta}$. Alors $|z|=e^{-i\theta}z=\int_a^b e^{-i\theta}f$. Ce nombre est réel, donc égal à sa partie réelle : $$|z|=\int_a^b\mathrm{Re}\left(e^{-i\theta}f\right)\le\int_a^b\left|e^{-i\theta}f\right|=\int_a^b|f|,$$ par croissance de l'intégrale réelle, puisque $\mathrm{Re}\,w\le|w|$.