Inégalité de Cauchy-Schwarz : énoncé (MPSI)

Pour $\lambda\in\mathbb{R}$, la fonction $(f+\lambda g)^2$ est positive, donc par positivité et linéarité : $$P(\lambda)=\int_a^b(f+\lambda g)^2=\lambda^2\int_a^b g^2+2\lambda\int_a^b fg+\int_a^b f^2\ge0.$$ Notons $A=\int_a^b g^2$, $B=\int_a^b fg$, $C=\int_a^b f^2$.

• Cas $A\neq0$ (donc $A>0$). $P$ est un trinôme du second degré qui garde un signe constant positif sur $\mathbb{R}$ : son discriminant est négatif ou nul, soit $4B^2-4AC\le0$, c'est-à-dire $B^2\le AC$.
• Cas $A=0$. Alors $2\lambda B+C\ge0$ pour tout réel $\lambda$. Une fonction affine positive sur $\mathbb{R}$ est constante, donc $B=0$ et $B^2\le AC$ est vérifiée ($0\le0$).

Cas d'égalité ($f,g$ continues). Si $g=0$, $f$ et $g$ sont colinéaires. Sinon $A>0$ par le théorème précédent ($g^2$ continue, positive, non nulle). L'égalité $B^2=AC$ signifie que le discriminant est nul : il existe $\lambda_0$ avec $P(\lambda_0)=0$, c'est-à-dire $\int_a^b(f+\lambda_0 g)^2=0$. La fonction $(f+\lambda_0 g)^2$ est continue et positive, donc nulle : $f=-\lambda_0 g$. Réciproquement, si $f=\mu g$, les deux membres valent $\mu^2A^2$.