Prépa, 1re année › Limites et continuité › Continuité en un point, sur un intervalle
Continuité en un point, sur un intervalle : définition (MPSI)
Définition
Continuité en un point, sur un intervalle
Soit $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $f$ admet une limite en $a$ ; d'après la remarque de la première section, cette limite vaut alors $f(a)$. Avec les quantificateurs : $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in I,\quad |x - a| \leq \eta \implies |f(x) - f(a)| \leq \varepsilon.$$ On dit que $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$. On note $\mathcal{C}(I, \mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions continues sur $I$ à valeurs réelles.
S’entraîner
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Continuité avec partie entière, prolongement
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Équation fonctionnelle $f(2x) = f(x)$
- Point fixe d'une fonction contractante
Dans le cours
Limites et continuité : Continuité en un point, sur un intervalle