Prépa, 1re année › Limites et continuité › Prolongement par continuité
Prolongement par continuité : définition (MPSI)
Définition
Prolongement par continuité
Soit $a \in I$ et $f$ définie sur $I \setminus \{a\}$. Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, la fonction $\tilde{f}$ définie sur $I$ par $$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ \ell & \text{si } x = a \end{cases}$$ est continue en $a$. On l'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$ ; on la note souvent encore $f$.
Exemple
Prolongements
- $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$, tend vers $1$ en $0$ : elle se prolonge par continuité en posant la valeur $1$ en $0$.
- $x \mapsto x \ln x$, définie sur $]0, +\infty[$, tend vers $0$ en $0^+$ (croissances comparées) : elle se prolonge en une fonction continue sur $[0, +\infty[$ valant $0$ en $0$.
- $x \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ n'a pas de limite en $0$ (même méthode que pour $\cos(1/x)$) : elle n'est prolongeable par continuité en $0$ par aucune valeur.
S’entraîner
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Continuité avec partie entière, prolongement
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Équation fonctionnelle $f(2x) = f(x)$
- Continuité uniforme ou non