Continuité à gauche, à droite : définition (MPSI)
Continuité à gauche, à droite
$f$ est continue à gauche en $a$ si $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = f(a)$, et continue à droite en $a$ si $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. En un point intérieur de $I$, $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en $a$.
La partie entière
Soit $n \in \mathbb{Z}$. Pour $x \in [n, n+1[$, $\lfloor x \rfloor = n$, donc $\lim\limits_{x \to n^+} \lfloor x \rfloor = n = \lfloor n \rfloor$ : la partie entière est continue à droite en $n$. Pour $x \in [n-1, n[$, $\lfloor x \rfloor = n - 1$, donc $\lim\limits_{x \to n^-} \lfloor x \rfloor = n - 1 \neq n$ : elle n'est pas continue à gauche en $n$.
En un réel $a \notin \mathbb{Z}$, la partie entière est constante sur un voisinage de $a$, donc continue en $a$. Conclusion : $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, continue à droite partout, discontinue en chaque entier.
S’entraîner
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Continuité avec partie entière, prolongement
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Équation fonctionnelle $f(2x) = f(x)$
- Continuité uniforme ou non