Caractérisation séquentielle de la continuité : énoncé (MPSI)
Caractérisation séquentielle de la continuité
$f$ est continue en $a \in I$ si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $I$ de limite $a$, la suite $(f(u_n))$ tend vers $f(a)$.
C'est la caractérisation séquentielle de la limite appliquée avec $\ell = f(a)$.
La fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$
Soit $f = \mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ : $f(x) = 1$ si $x \in \mathbb{Q}$, $f(x) = 0$ sinon. Soit $a \in \mathbb{R}$.
Par densité de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, pour tout $n \geq 1$ il existe un rationnel $u_n$ et un irrationnel $v_n$ dans $\left]a, a + \frac{1}{n}\right[$. Les deux suites tendent vers $a$, avec $f(u_n) = 1$ et $f(v_n) = 0$. Les suites $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ ont des limites différentes, donc elles ne tendent pas toutes deux vers $f(a)$ : $f$ n'est continue en aucun point.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Continuité avec partie entière, prolongement
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Équation fonctionnelle $f(2x) = f(x)$
Dans le cours
Limites et continuité : Caractérisation séquentielle de la continuité