Limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ : méthode (MPSI)
Limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$
Si $(u_n)$ est à valeurs dans $I$, vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$, converge vers $\ell \in I$, et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell = f(\ell)$.
Justification : $(u_{n+1})$ tend vers $\ell$ comme suite extraite ; par continuité, $(f(u_n))$ tend vers $f(\ell)$. Les deux suites sont égales, donc $\ell = f(\ell)$ par unicité de la limite.
Étapes :
- Prouver la convergence (monotonie et bornes, par exemple).
- Justifier que la limite $\ell$ appartient à $I$ (souvent par passage à la limite dans un encadrement $\alpha \leq u_n \leq \beta$ avec $[\alpha, \beta] \subset I$).
- Résoudre $f(\ell) = \ell$ et éliminer les solutions incompatibles avec les bornes.
Exemple : si $u_0 = 0$, $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ et si l'on a établi que $(u_n)$ converge vers $\ell \geq 0$, la continuité de $x \mapsto \sqrt{2 + x}$ sur $[0, +\infty[$ donne $\ell = \sqrt{2 + \ell}$, d'où $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, soit $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$. Comme $\ell \geq 0$, $\ell = 2$.
Continuité des fonctions à valeurs complexes
Une fonction $f : I \to \mathbb{C}$ est continue en $a$ si $|f(x) - f(a)| \to 0$ quand $x \to a$, ce qui équivaut à la continuité de $\mathrm{Re}(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$ en $a$. Opérations, composition, caractérisation séquentielle et prolongement se transposent sans changement. Par exemple $t \mapsto e^{it} = \cos t + i \sin t$ est continue sur $\mathbb{R}$.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Point fixe d'une fonction contractante
- Limite finie à l'infini et continuité uniforme
Dans le cours
Limites et continuité : Limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$