Prépa, 1re année › Limites et continuité › Limite finie en un point réel
Limite finie en un point réel : définition (MPSI)
Définition
Limite finie en un point réel
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $\ell \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ si $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in I,\quad |x - a| \leq \eta \implies |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.$$ On note $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ ou $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$.
En mots : on peut rendre $f(x)$ aussi proche de $\ell$ que l'on veut, à condition de prendre $x$ assez proche de $a$. Le réel $\eta$ dépend de $\varepsilon$.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Équation fonctionnelle $f(2x) = f(x)$
- Point fixe d'une fonction contractante