Unicité de la limite : énoncé (MPSI)

Supposons que $f$ tende vers $\ell$ et vers $\ell'$ en $a$, avec $\ell \neq \ell'$. Posons $\varepsilon = \frac{|\ell - \ell'|}{3} > 0$.

Il existe $\eta_1 > 0$ tel que pour $x \in I$, $|x-a| \leq \eta_1 \implies |f(x)-\ell| \leq \varepsilon$, et $\eta_2 > 0$ tel que $|x-a| \leq \eta_2 \implies |f(x)-\ell'| \leq \varepsilon$.

Posons $\eta = \min(\eta_1, \eta_2)$. Comme $a$ est un point de $I$ ou une extrémité de $I$, il existe $x \in I$ avec $|x-a| \leq \eta$. Pour ce $x$ : $$|\ell - \ell'| \leq |\ell - f(x)| + |f(x) - \ell'| \leq 2\varepsilon = \frac{2}{3}|\ell - \ell'|,$$ ce qui est impossible puisque $|\ell-\ell'| > 0$. Donc $\ell = \ell'$.

Les cas où une limite est infinie, ou $a = \pm\infty$, se traitent de la même façon : deux voisinages disjoints de $\ell$ et $\ell'$ ne peuvent pas contenir tous deux $f(x)$.