Les autres cas de limite : définition (MPSI)
Les autres cas de limite
- $a \in \mathbb{R}$, limite $+\infty$ : $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in I,\ |x-a| \leq \eta \implies f(x) \geq A$.
- $a = +\infty$, limite $\ell \in \mathbb{R}$ : $\forall \varepsilon > 0,\ \exists B \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ x \geq B \implies |f(x)-\ell| \leq \varepsilon$.
- $a = +\infty$, limite $+\infty$ : $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists B \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ x \geq B \implies f(x) \geq A$.
Les cas avec $-\infty$ s'écrivent de même (remplacer $f(x) \geq A$ par $f(x) \leq A$, ou $x \geq B$ par $x \leq B$).
Toutes ces définitions se résument en une seule : $f$ tend vers $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ en $a$ si, pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe un voisinage $W$ de $a$ tel que $f(W \cap I) \subset V$.
Si $f$ est définie en $a$
Si $a \in I$ et si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, alors $\ell = f(a)$. En effet, en prenant $x = a$ dans la définition, on obtient $|f(a) - \ell| \leq \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, donc $f(a) = \ell$.
Ainsi la fonction $g$ définie par $g(0) = 1$ et $g(x) = 0$ pour $x \neq 0$ n'a pas de limite en $0$. En revanche, sa restriction à $\mathbb{R}^*$ tend vers $0$ en $0$. Pour parler de cette limite, on écrit $\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x \neq a}} g(x)$ : c'est la limite en $a$ de la restriction de $g$ à $I \setminus \{a\}$.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Suite récurrente $u_{n+1} = 1 + \frac{u_n^2}{4}$
- Équation fonctionnelle $f(2x) = f(x)$
- Limite finie à l'infini et continuité uniforme