Limite à gauche, limite à droite : définition (MPSI)

Soit $a \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ admet une limite à gauche en $a$ si la restriction de $f$ à $I \cap\, ]-\infty, a[$ admet une limite en $a$. On la note $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$. On définit de même la limite à droite $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ avec $I \cap\, ]a, +\infty[$.

Pour $\ell$ réel, la limite à droite s'écrit : $\forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x \in I,\ a < x \leq a+\eta \implies |f(x)-\ell| \leq \varepsilon$.