- Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que $$\forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)+2f(-x)=x^2+x.$$
- Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que $$\forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)+f(-x)=x^2.$$
Question 1 : écrire aussi la relation en $-x$ ; on obtient un système de deux équations d'inconnues $f(x)$ et $f(-x)$.
Question 2 : écrire $f=g+h$ avec $g$ paire et $h$ impaire (cours) et traduire la condition sur $g$ et $h$.
Ne pas oublier la synthèse.
- Analyse. Soit $f$ une solution et $x\in\mathbb{R}$. La relation en $x$ et en $-x$ donne $$\begin{cases}f(x)+2f(-x)=x^2+x\\ 2f(x)+f(-x)=x^2-x\end{cases}$$ En retranchant la première ligne au double de la seconde : $3f(x)=2x^2-2x-x^2-x=x^2-3x$, donc $f(x)=\dfrac{x^2}{3}-x$. Le seul candidat est $f:x\mapsto\dfrac{x^2}{3}-x$.
Synthèse. Pour ce candidat et tout $x\in\mathbb{R}$ : $f(-x)=\dfrac{x^2}{3}+x$ et $$f(x)+2f(-x)=\frac{x^2}{3}-x+\frac{2x^2}{3}+2x=x^2+x.$$ Conclusion. L'unique solution est $x\mapsto\dfrac{x^2}{3}-x$.
- Analyse. Soit $f$ une solution. D'après le cours, $f=g+h$ avec $g(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ paire et $h(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ impaire. La condition donne $g(x)=\dfrac{x^2}{2}$ pour tout $x$. Donc $f(x)=\dfrac{x^2}{2}+h(x)$ avec $h$ impaire. Aucune condition n'apparaît sur $h$.
Synthèse. Soit $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ impaire quelconque et $f(x)=\dfrac{x^2}{2}+h(x)$. Pour tout $x$ : $f(x)+f(-x)=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{2}+h(x)+h(-x)=x^2$, car $h(-x)=-h(x)$.
Conclusion. Les solutions sont exactement les fonctions $x\mapsto\dfrac{x^2}{2}+h(x)$ où $h$ est une fonction impaire quelconque. Il y en a une infinité : l'analyse n'aboutit pas toujours à un candidat unique.
- $f(x)=\frac{x^2}{3}-x$ ; 2. $f(x)=\frac{x^2}{2}+h(x)$ avec $h$ impaire quelconque