Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$.
- Calculer $A^2$ et l'exprimer en fonction de $A$ et $I_3$.
- En déduire que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$.
- Pour $n\in\mathbb N$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-X-2$, puis en déduire $A^n$.
Les coefficients diagonaux de $A^2$ sont égaux entre eux, de même que les coefficients hors diagonale.
Factoriser $A$ dans la relation obtenue pour faire apparaître $A\times(\dots)=I_3$.
$X^2-X-2=(X-2)(X+1)$ : évaluer l'égalité de division en $2$ et en $-1$.
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Coefficient diagonal de $A^2$ : $0+1+1=2$. Coefficient $(1,2)$ : $(0,1,1)\cdot(1,0,1)=1$ ; par symétrie des rôles, tous les coefficients hors diagonale valent $1$. Donc $$A^2=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}=A+2I_3.$$
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On a $A^2-A=2I_3$, soit $A\cdot\frac12(A-I_3)=I_3$. Un inverse à droite suffit : $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac12(A-I_3)=\frac12\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}.$$
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Le polynôme $X^2-X-2=(X-2)(X+1)$ annule $A$ d'après 1. La division euclidienne s'écrit $X^n=Q_n(X)(X-2)(X+1)+a_nX+b_n$, le reste étant de degré au plus $1$. En évaluant en $2$ et en $-1$ : $$2a_n+b_n=2^n,\qquad -a_n+b_n=(-1)^n.$$ Par différence, $3a_n=2^n-(-1)^n$, puis $b_n=(-1)^n+a_n$ : $$a_n=\frac{2^n-(-1)^n}3,\qquad b_n=\frac{2^n+2(-1)^n}3.$$ En substituant $A$ : $A^n=Q_n(A)(A^2-A-2I_3)+a_nA+b_nI_3=a_nA+b_nI_3$. Donc $A^n$ a pour coefficients diagonaux $b_n$ et pour coefficients hors diagonale $a_n$ : $$A^n=\frac13\begin{pmatrix}2^n+2(-1)^n&2^n-(-1)^n&2^n-(-1)^n\\2^n-(-1)^n&2^n+2(-1)^n&2^n-(-1)^n\\2^n-(-1)^n&2^n-(-1)^n&2^n+2(-1)^n\end{pmatrix}.$$ Contrôles : $n=0$ donne $I_3$, $n=1$ donne $A$, $n=2$ donne $a_2=1$, $b_2=2$, soit $A+2I_3$.
$A^2=A+2I_3$, $A^{-1}=\frac12(A-I_3)$, $A^n=\frac{2^n-(-1)^n}3A+\frac{2^n+2(-1)^n}3I_3$