Isomorphismes et matrices inversibles : énoncé (MPSI)

Notons $A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)$. Si $u$ est bijective, $\operatorname{Mat}_{\mathcal C,\mathcal B}(u^{-1})A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(\mathrm{id}_E)=I_n$ et $A\operatorname{Mat}_{\mathcal C,\mathcal B}(u^{-1})=I_n$. Réciproquement, si $A$ est inversible, soit $v\in\mathcal L(F,E)$ de matrice $A^{-1}$ : $u\circ v$ et $\mathrm{id}_F$ ont la même matrice $I_n$, donc sont égales par injectivité de $u\mapsto\operatorname{Mat}(u)$ ; de même $v\circ u=\mathrm{id}_E$.

Démontrons maintenant le théorème de caractérisation de la section 2 avec $u=u_A\in\mathcal L(\mathbb K^n)$.

• Si $AB=I_n$, alors $u_A\circ u_B=\mathrm{id}$, donc $u_A$ est surjective. En dimension finie, un endomorphisme surjectif est bijectif (théorème du rang), donc $A$ est inversible et $B=A^{-1}(AB)=A^{-1}$.
• Si $BA=I_n$, alors $u_B\circ u_A=\mathrm{id}$, donc $u_A$ est injective, donc bijective ; et $B=(BA)A^{-1}=A^{-1}$.
• La condition 4 dit que $\operatorname{Ker}u_A=\{0\}$, la condition 5 que $u_A$ est bijective, la condition 6 que $u_A$ est surjective. En dimension finie, pour un endomorphisme, injectif, surjectif et bijectif sont équivalents.