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Prépa, 1re année › Nombres complexes › Racines carrées sous forme algébrique

Racines carrées sous forme algébrique : méthode (MPSI)

Méthode

Racines carrées sous forme algébrique

Tout $\Delta\in\mathbb{C}^*$ admet exactement deux racines carrées, opposées. Quand l'argument de $\Delta$ n'est pas remarquable, on cherche $\delta=x+iy$ ($x,y$ réels) tel que $\delta^2=\Delta$ :

  1. identifier parties réelles et imaginaires : $x^2-y^2=\mathrm{Re}(\Delta)$ et $2xy=\mathrm{Im}(\Delta)$ ;
  2. ajouter l'égalité des modules : $|\delta|^2=|\Delta|$, soit $x^2+y^2=|\Delta|$ ;
  3. en déduire $x^2$ et $y^2$, puis choisir les signes grâce au signe de $xy$ (celui de $\mathrm{Im}(\Delta)$).
Exemple

Racines carrées de 3 + 4i

On cherche $\delta=x+iy$ avec $$\begin{cases}x^2-y^2=3\\ 2xy=4\\ x^2+y^2=|3+4i|=5\end{cases}$$ Par somme et différence : $x^2=4$ et $y^2=1$. Comme $xy=2>0$, $x$ et $y$ sont de même signe. Les racines carrées sont $2+i$ et $-2-i$. Vérification : $(2+i)^2=4+4i-1=3+4i$.

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Dans le cours

Nombres complexes : Racines carrées sous forme algébrique