Équation du second degré : énoncé (MPSI)
Équation du second degré
Soit $a,b,c\in\mathbb{C}$ avec $a\neq0$, et $\Delta=b^2-4ac$. Soit $\delta$ une racine carrée complexe de $\Delta$. Les solutions de $az^2+bz+c=0$ sont $$z_1=\frac{-b+\delta}{2a},\qquad z_2=\frac{-b-\delta}{2a}.$$ Elles sont distinctes si $\Delta\neq0$, confondues (racine double $-\frac{b}{2a}$) si $\Delta=0$. De plus $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$ pour tout $z$.
Démonstration : Équation du second degré
Preuve
Forme canonique : $$az^2+bz+c=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\delta}{2a}\right)^2\right].$$ Par l'identité $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$ : $$az^2+bz+c=a\left(z+\frac{b}{2a}-\frac{\delta}{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\frac{\delta}{2a}\right)=a(z-z_1)(z-z_2).$$ Comme $a\neq0$ et qu'un produit de complexes est nul si et seulement si un facteur l'est, les solutions sont $z_1$ et $z_2$.
S’entraîner
- Racines quatrièmes d'un complexe
- Équations du second degré à coefficients complexes
- Équations avec l'exponentielle complexe
- Triangles rectangles formés par 1, z et z²
- L'équation (z + 1)^n = (z − 1)^n