Somme des racines n-ièmes de l'unité ; le nombre j : énoncé (MPSI)

Pour $n\geqslant2$, on pose $\omega=e^{2i\pi/n}$. Alors $\mathbb{U}_n=\{1,\omega,\dots,\omega^{n-1}\}$ et $$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=0.$$ Preuve : $\omega\neq1$ car $0<\frac{2\pi}{n}<2\pi$, donc la somme géométrique vaut $\dfrac{1-\omega^n}{1-\omega}=0$.

Cas $n=3$ : on note $j=e^{2i\pi/3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$. Alors $\mathbb{U}_3=\{1,j,j^2\}$, $1+j+j^2=0$, $j^3=1$ et $\overline{j}=j^2=\dfrac1j$.