Prépa, 1re année › Nombres complexes › Racines n-ièmes d'un complexe non nul

Racines n-ièmes d'un complexe non nul : énoncé (MPSI)

Théorème

Racines n-ièmes d'un complexe non nul

Soit $a=re^{i\alpha}\in\mathbb{C}^*$ ($r>0$) et $n\in\mathbb{N}^*$. Les racines $n$-ièmes de $a$ sont les $n$ nombres distincts $$z_k=r^{1/n}e^{i\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)},\quad k\in\{0,\dots,n-1\}.$$ Si $z_0$ est l'une d'elles, ce sont les nombres $z_0\omega$ pour $\omega\in\mathbb{U}_n$.

Démonstration : Racines n-ièmes d'un complexe non nul

Démonstration

Preuve

Posons $z_0=r^{1/n}e^{i\alpha/n}$, avec $r^{1/n}$ la racine $n$-ième réelle positive de $r$. Par Moivre, $z_0^n=re^{i\alpha}=a$, et $z_0\neq0$. Alors $$z^n=a\iff z^n=z_0^n\iff\left(\frac{z}{z_0}\right)^n=1\iff\frac{z}{z_0}\in\mathbb{U}_n.$$ Le théorème précédent conclut ; les $z_0\omega$ sont distincts car les $\omega$ le sont.

Exemple

Racines cubiques de 8i

$8i=8e^{i\pi/2}$. Les racines cubiques sont $2e^{i\left(\frac\pi6+\frac{2k\pi}{3}\right)}$, $k\in\{0,1,2\}$ :

$k=0$ : $2e^{i\pi/6}=\sqrt3+i$ ;
$k=1$ : $2e^{5i\pi/6}=-\sqrt3+i$ ;
$k=2$ : $2e^{3i\pi/2}=-2i$.

Vérification : $(-2i)^3=-8i^3=8i$.

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Nombres complexes : Racines n-ièmes d'un complexe non nul