Racines n-ièmes de l'unité : énoncé (MPSI)
Racines n-ièmes de l'unité
Pour $n\in\mathbb{N}^*$ : $$\mathbb{U}_n=\left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}}:k\in\{0,1,\dots,n-1\}\right\},$$ et ces $n$ nombres sont deux à deux distincts. Ainsi $\mathbb{U}_n$ a exactement $n$ éléments ; c'est un sous-groupe de $\mathbb{U}$. Ses points forment un polygone régulier à $n$ sommets inscrit dans le cercle unité, dont un sommet est le point d'affixe $1$.
Démonstration : Racines n-ièmes de l'unité
Preuve
Soit $z$ tel que $z^n=1$. Alors $|z|^n=1$ avec $|z|\geqslant0$, donc $|z|=1$ et $z=e^{i\theta}$. Par Moivre, $z^n=e^{in\theta}$, et $e^{in\theta}=1\iff n\theta\in2\pi\mathbb{Z}\iff\theta=\dfrac{2k\pi}{n}$ avec $k\in\mathbb{Z}$. Réciproquement ces nombres vérifient $z^n=e^{2ik\pi}=1$.
Réduction : pour $k\in\mathbb{Z}$, la division euclidienne $k=qn+r$ avec $0\leqslant r\leqslant n-1$ donne $e^{2ik\pi/n}=e^{2iq\pi}e^{2ir\pi/n}=e^{2ir\pi/n}$.
Distinction : si $0\leqslant k,k'\leqslant n-1$ et $e^{2ik\pi/n}=e^{2ik'\pi/n}$, alors $\dfrac{2(k-k')\pi}{n}\in2\pi\mathbb{Z}$, donc $n$ divise $k-k'$ ; or $|k-k'|<n$, donc $k=k'$.
Sous-groupe : $1\in\mathbb{U}_n$ ; si $z^n=w^n=1$, alors $(zw)^n=1$ et $(1/z)^n=1$.
S’entraîner
- Racines carrées sous forme algébrique
- Racines quatrièmes d'un complexe
- Équations du second degré à coefficients complexes
- Valeur exacte de cos(2π/5) par les racines cinquièmes de l'unité
- Une somme alternée de puissances de cosinus