Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $\theta\in\mathbb{R}$. On pose $$C_n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk\cos(k\theta),\qquad S_n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk\sin(k\theta).$$
- Calculer $C_n+iS_n$ à l'aide de la formule du binôme.
- En déduire une expression factorisée de $C_n$ et de $S_n$.
- Vérifier le résultat pour $n=2$ et $\theta=\frac\pi2$.
$\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)=\left(e^{i\theta}\right)^k$.
Reconnaître $\sum_{k=0}^n\binom nk 1^{n-k}\left(e^{i\theta}\right)^k$.
Factoriser $1+e^{i\theta}$ par l'angle moitié et remarquer que le facteur obtenu est réel.
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Par linéarité et Moivre, $$C_n+iS_n=\sum_{k=0}^n\binom nk e^{ik\theta}=\sum_{k=0}^n\binom nk\left(e^{i\theta}\right)^k1^{n-k}=\left(1+e^{i\theta}\right)^n.$$
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Par l'angle moitié, $1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\right)=2\cos\frac\theta2\,e^{i\theta/2}$, donc $$C_n+iS_n=2^n\cos^n\left(\frac\theta2\right)e^{in\theta/2}.$$ Le facteur $2^n\cos^n\frac\theta2$ est réel, et $C_n$, $S_n$ sont réels : ce sont les parties réelle et imaginaire de ce nombre. Donc $$C_n=2^n\cos^n\left(\frac\theta2\right)\cos\left(\frac{n\theta}2\right),\qquad S_n=2^n\cos^n\left(\frac\theta2\right)\sin\left(\frac{n\theta}2\right).$$ Aucune restriction sur $\theta$ n'est nécessaire.
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Pour $n=2$, $\theta=\frac\pi2$ : directement, $C_2=1+2\cos\frac\pi2+\cos\pi=0$ et $S_2=0+2\sin\frac\pi2+\sin\pi=2$. La formule donne $C_2=4\cos^2\frac\pi4\cos\frac\pi2=0$ et $S_2=4\times\frac12\times\sin\frac\pi2=2$. Les résultats concordent.
$C_n=2^n\cos^n\frac\theta2\cos\frac{n\theta}2$, $S_n=2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$