Soit $n\geqslant2$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.
- Pour $p\in\mathbb{Z}$, calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kp}$ (on distinguera selon que $n$ divise $p$ ou non).
- En déduire $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\left(1+\omega^k\right)^n$.
- Montrer que $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cos^n\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}.$$ Vérifier pour $n=3$.
$\omega^p=1$ si et seulement si $n$ divise $p$ ; sinon, somme géométrique de raison $\omega^p$.
Développer chaque $(1+\omega^k)^n$ par le binôme, puis échanger les deux sommes.
Parmi les entiers $j\in\{0,\dots,n\}$, seuls $0$ et $n$ sont multiples de $n$.
Écrire $1+\omega^k=2\cos\frac{k\pi}n\,e^{ik\pi/n}$.
- $\omega^p=e^{2ip\pi/n}=1$ si et seulement si $\frac{p}{n}\in\mathbb{Z}$, c'est-à-dire $n\mid p$.
- Si $n\mid p$ : chaque terme $\omega^{kp}=(\omega^p)^k$ vaut $1$, la somme vaut $n$.
- Sinon $\omega^p\neq1$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(\omega^p)^k=\frac{1-(\omega^p)^n}{1-\omega^p}=\frac{1-(\omega^n)^p}{1-\omega^p}=0$.
-
Par le binôme, $(1+\omega^k)^n=\sum_{j=0}^n\binom nj\omega^{kj}$. En échangeant les sommes finies : $$\sum_{k=0}^{n-1}(1+\omega^k)^n=\sum_{j=0}^{n}\binom nj\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kj}.$$ D'après 1, la somme intérieure vaut $n$ si $n\mid j$ et $0$ sinon. Pour $j\in\{0,\dots,n\}$, $n\mid j$ si et seulement si $j=0$ ou $j=n$. Donc la somme vaut $\binom n0n+\binom nnn=2n$.
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Par l'angle moitié, $1+\omega^k=1+e^{2ik\pi/n}=2\cos\left(\frac{k\pi}n\right)e^{ik\pi/n}$. Par Moivre, $$(1+\omega^k)^n=2^n\cos^n\left(\frac{k\pi}{n}\right)e^{ik\pi}=2^n(-1)^k\cos^n\left(\frac{k\pi}{n}\right).$$ En sommant et avec la question 2 : $2^n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cos^n\frac{k\pi}n=2n$, d'où $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cos^n\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{2n}{2^n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$$ Vérification pour $n=3$ : $1-\cos^3\frac\pi3+\cos^3\frac{2\pi}3=1-\frac18-\frac18=\frac34$, et $\frac{3}{2^2}=\frac34$.
$n$ si $n\mid p$, $0$ sinon ; $2n$ ; $\frac{n}{2^{n-1}}$