Prépa, 1re année › Nombres réels › Passage à la borne supérieure
Passage à la borne supérieure : énoncé (MPSI)
Propriété
Passage à la borne supérieure
Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$.
- Si $M$ est un réel tel que $\forall a \in A,\ a \le M$, alors $\sup A \le M$ (car $\sup A$ est le plus petit majorant).
- Si $A \subset B$ avec $B$ majorée, alors $\sup A \le \sup B$ (car $\sup B$ majore $B$, donc $A$).
Ces deux remarques permettent de majorer une borne supérieure sans la calculer.
Attention
Les inégalités strictes ne passent pas à la borne supérieure
Si $\forall a \in A,\ a < M$, on peut seulement conclure $\sup A \le M$, pas $\sup A < M$. Exemple : tout élément de $[0, 1[$ est strictement inférieur à $1$, et pourtant $\sup\,[0, 1[ = 1$.
S’entraîner
- Bornes d'une partie définie par une suite
- Bornes supérieure et inférieure avec epsilon
- Borne supérieure d'un produit de parties positives
- Étude d'une partie de Q (type CCINP)
- Sous-groupes additifs de R (type Mines-Ponts)